Question

已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．

（1）記函數(shù)，且，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對任意，，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）和；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性：先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再解不等式得或，從而的單調(diào)增區(qū)間為和，（2）解決不等式恒成立問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化：先根據(jù)單調(diào)性去絕對值，設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，所以有對恒成立，再根據(jù)絕對值不等式化簡為

對，恒成立，整理為

對，恒成立，即和在都是單調(diào)遞增函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)最值求的取值范圍

試題解析：（1）因為，

所以， 2分

令，因為，得或， 5分

所以的單調(diào)增區(qū)間為和； 6分

（2）因為對任意且，均有成立，

不妨設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，

所以有對恒成立， 8分

所以對，恒成立，

即對，恒成立，

所以和在都是單調(diào)遞增函數(shù)， 11分

當(dāng)在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因為在上單調(diào)減函數(shù)，所以在上取得最大值，

解得． 13分

當(dāng)在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因為在上遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上取得最小值，

所以， 15分

所以實數(shù)的取值范圍為． 16分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題