Question

4．如圖，有-直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有-棵樹(shù)與兩墻的距離分別是a米（0＜a＜12），4米，不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)在想用16米長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成-個(gè)矩形的花圍ABCD，并要求將這棵樹(shù)圍在花圃?xún)?nèi)或在花圃的邊界上．設(shè)BC=x米，此矩形花圍的面積為y平方米．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)BC為何值時(shí)，花圃面積最大？

Answer 1

分析 （1）要使樹(shù)被圈進(jìn)去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可確定函數(shù)的變量的范圍．設(shè)長(zhǎng)BC=x米，寬CD=（16-x）米，所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]，由于對(duì)稱(chēng)軸x=8，根據(jù)0＜a＜12，故要進(jìn)行分類(lèi)討論：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，從而可求y=f（x）的最大值．

解答 解：（1）要使樹(shù)被圈進(jìn)去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，
因?yàn)榛h笆長(zhǎng)為16米，所以當(dāng)長(zhǎng)BC=x米時(shí)，寬CD=（16-x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x，其定義域?yàn)閤∈[a，12]；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]
對(duì)稱(chēng)軸x=8，又因?yàn)?＜a＜12，
所以，當(dāng)8≤a＜12時(shí)，x=a時(shí)，y_max=-a²+16a；
當(dāng)4≤a＜8時(shí)，x=8時(shí)，y_max=64；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，x=8時(shí)，y_max=64．

點(diǎn)評(píng) 本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查二次函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確分類(lèi)．