Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+3ⁿ且a₁=1，求數(shù)列{a_n}．

Answer 1

分析 把已知的遞推式兩邊同時除以3ⁿ⁺¹，得到數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}構成以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，求出{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的通項公式后得答案．

解答 解：由a_n+1=3a_n+3ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}$，
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}構成以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，
∴${a}_{n}=n•{3}^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，考查等差數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題．