Question

1．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）滿足a≤$\sqrt{3}$b，若離心率為e，則e²+$\frac{1}{e^2}$的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 先由a≤$\sqrt{3}$b，及a²=b²+c²，求得橢圓離心率的范圍，再利用換元法將函數(shù)y=e²+$\frac{1}{e^2}$轉化為函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$），最后利用導數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：∵a≤$\sqrt{3}$b，∴a²≤3b²，∴a²≤3（a²-c²），即2a²≥3c²，∴0＜e²≤$\frac{2}{3}$
設t=e²，則y=e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$=t+$\frac{1}{t}$ （0＜t≤$\frac{2}{3}$）
∵y′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$）為（0，$\frac{2}{3}$]上的減函數(shù)
∴y≥$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{13}{6}$，即e²+$\frac{1}{e^2}$的最小值為$\frac{13}{6}$
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求法，考查特殊函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，注意本題的函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$）不適合用均值定理求最值．