Question

6．求函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函數(shù)，并求反函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析 由y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，求出x=ln$\frac{y}{1-y}$，x，y互換，能求出函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函數(shù)，由$\frac{x}{1-x}＞0$，能求出反函數(shù)的定義域．

解答 解：∵y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，
∴ye^x+y=e^x，
∴（y-1）e^x=-y，
∴${e}^{x}=\frac{y}{1-y}$，
∴x=ln$\frac{y}{1-y}$，
x，y互換，得函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函數(shù)為：$y=ln\frac{x}{1-x}$，
$\frac{x}{1-x}＞0$，解得反函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|0＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．