Question

（本小題滿分12分）心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？

（2）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時

間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率.

（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

下面臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

.

Answer 1

（1）有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)；

（2）；

（3）的分布列為：

.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；

（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；

（3）確定的可能值有，，，依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可.

試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值， 2分

∴根據(jù)統(tǒng)計有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)； 3分（2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為，分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為（如圖所示）， 4分

設(shè)事件為“乙比甲先做完此道題” 則滿足的區(qū)域為， 5分

∴由幾何概型，即乙比甲先解答完的概率為； 7分（3）由題可知在選擇做幾何題的名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有種，恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種， 8分

∴可能取值為，，，

的分布列為：

∴. . 12分

考點：1.獨立性檢驗的應(yīng)用；2.離散型隨機變量及其分布.