Question

8．如圖，已知圓M：（x-3）²+（y-3）²=4，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E為邊AB的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動，同時點F在邊AD上運動時，$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值是8．

Answer 1

分析 由題意可$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$．由點F在邊AD上運動時，所以當F與A 重合時，可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$最大，=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OF}$＞+$\sqrt{2}$|MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞，從而求得$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值．

解答 解：由題意可得可$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$．由點F在邊AD上運動時，所以當F與A 重合時，可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$最大，
所以$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OF}$＞+|ME||MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞，
由題意可得，圓M的半徑為2，故正方形ABCD的邊長為2$\sqrt{2}$，故ME=$\sqrt{2}$，
再由OM=3$\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$וcos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OM}$＞+|ME||MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞
=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OM}$＞+$\sqrt{2}$|MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞≤6+2=8，
所以，即$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值是大為8，
故答案為：8．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦函數的值域，屬于中檔題．