Question

17．給出命題p：在平面直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2），Q（cosx，-1），?x∈[0，π]，$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$都不垂直．試寫出￢p，并說明￢p的真假性．

Answer 1

分析 根據(jù)全稱命題否定的方法，可得￢p，再由向量垂直的充要條件，可得答案．

解答 解：∵在平面直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2），Q（cosx，-1），
命題p：?x∈[0，π]，$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$都不垂直．
∴命題￢p為：?x∈[0，π]，使得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（2cosx+1）cosx-（2cos2x+2）=-2cos²x+cosx，
當x=$\frac{π}{3}$時，cosx=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
故￢p為真命題；

點評 本題考查的知識點是全稱命題否定的方法，命題的真假判斷與應用，難度中檔．