Question

19．函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{tan\frac{x}{2}}$+$\frac{sin2x}{tanx}$的最小值為$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式將三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)變形成二次函數(shù)的形式，利用余弦函數(shù)的值域求函數(shù)的最小值

解答 解：f（x）═$\frac{sinx}{tan\frac{x}{2}}$+$\frac{sin2x}{tanx}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}$+$\frac{2sinxcosx}{\frac{sinx}{cosx}}$=2cos²$\frac{x}{2}$+2cos²x=2cos²x+cosx+1=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
故當(dāng)cosx=-$\frac{1}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)最值的求解，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行化簡，并轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．