Question

10．已知△ABC外接圓O的半徑為2，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AO}$|，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=12．

Answer 1

分析 運用平面向量的三角形法則，以及外心的特點，可得O為BC的中點，三角形ABC為直角三角形，
再由勾股定理和向量的數(shù)量積定義，即可求出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，

△ABC的外接圓的半徑為2，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，
∴（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=2$\overrightarrow{AO}$，
∴$\overline{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴O為BC的中點，
即AB⊥AC；
又|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AO}$|，
∴△ABO為等邊三角形，且邊長為2，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{{BC}^{2}{-AB}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ACB=2$\sqrt{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12．
故答案為：12．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則和數(shù)量積的定義應用問題，也考查了三角形的外心概念與勾股定理的運用，是基礎題．