Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求a，b的值：
（2）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的極值得到方程組，解出a，b的值即可；
（2）通過（1）求出函數(shù)的解析式，得到函數(shù)的導數(shù)，通過討論x的范圍，從而得到函數(shù)的極大值和極小值即可．

解答 解�。�1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依題意，--------------（1分）
f′（1）=f′（-1）=0，------（3分）
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．---------（5分）
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=-1，x=1．----------（7分）
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
若x∈（-1，1），則f′（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．------------（10分）
所以f （-1）=2是極大值，f（1）=-2是極小值．-----------（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性．極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．