Question

14．在直角坐標系xOy中，角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線l：y=2$\sqrt{2}$x（x≥0）．
（1）求$cos（α+\frac{π}{6}）$的值；
（2）若點P，Q分別是角α始邊、終邊上的動點，且PQ=6，求△POQ面積最大時，點P，Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）運用任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα，cosα，再由兩角和的余弦公式，計算即可得到；
（2）設(shè)P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0）．運用兩點的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式和基本不等式，即可得到三角形的面積的最大值以及P，Q的坐標．

解答 解：（1）由射線l的方程為y=2$\sqrt{2}$x，
可得tanα=2$\sqrt{2}$，sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
故$cos（α+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{6}$．
（2）設(shè)P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0）．
在△POQ中，因為PQ²=（a-b）²+8b²=36，
即36=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，
所以ab≤9，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•a•3b•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$ab≤9$\sqrt{2}$．當且僅當a=3b，即$a=3\sqrt{3}，b=\sqrt{3}$取得等號．
所以△POQ面積最大時，點P，Q的坐標分別為$P（3\sqrt{3}，0），Q（\sqrt{3}，2\sqrt{6}）$．

點評 本題考查三角函數(shù)的求值，同時考查任意角的三角函數(shù)的定義，三角形中的面積公式，主要考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．