Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x|（m∈R）
（1）若f（1）=1，解關于x的不等式f（x）＜2
（2）若f（x）≥m²對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求得m=1，不等式即|x-1|+|x|＜2，分類討論，去掉絕對值，求得x的范圍，綜合可得結論．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|m|，要使f（x）≥m²對任意實數(shù)x恒成立，只需|m|≥m²，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）由f（1）=1可得|1-m|+1=1，故m=1．
由f（x）＜2可得|x-1|+|x|＜2．
①當x＜0時，不等式可變?yōu)椋?-x）-x＜2，解之得x＞-$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$＜x＜0；
②當0≤x≤1時，不等式可變?yōu)椋?-x）+x＜2，即1＜2，∴0≤x≤1；
③當x＞1時，不等式可變?yōu)椋▁-1）+x＜2，解之得x＜$\frac{3}{2}$，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$．
綜上可知，原不等式的解集為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（2）由絕對值不等式的性質(zhì)可得f（x）=|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，
當且僅當（x-m）•x≤0時等號成立，故f（x）的最小值為|m|．
要使f（x）≥m²對任意實數(shù)x恒成立，故只需|m|≥m²，即|m|•（|m|-1）≤0，
故|m|≤1，即-1≤m≤1，即實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，屬于中檔題．