Question

甲乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：

（1）兩個人都譯出密碼的概率；

（2）兩個人都譯不出密碼的概率；

（3）至多1個人譯出密碼的概率；

（4）至少1個人譯出密碼的概率.

Answer 1

思路分析： 我們把“甲獨立地譯出密碼”記為事件A，把“乙獨立地譯出密碼”記為事件B，顯然，A，B為相互獨立事件.問題（1）相當于事件A，B同時發(fā)生，即事件AB.問題（2）相當于事件·.問題（3）“至多1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都譯出密碼”，即事件AB.問題（4）“至少1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都未譯出密碼”，即事件·.由于A、B是相互獨立事件，上述問題中，與B，A與，與都是相互獨立事件，可以用公式計算相關概率.

解：記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”記為事件B，A、B為相互獨立事件，且P（A）=，P（B）=.

（1）兩個人都譯出密碼的概率為：P（A·B）=P（A）·P（B）=×=.

（2）兩個人都譯不出密碼的概率為：P(·)=P（）·P（）=［1-P（A）］×［1-P(B)］=(1-)(1-)=.

（3）“至多1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-×=.

（4）“至少1個人譯出密碼”的對立事件是“兩個人都未譯出密碼”，所以至少1個人譯出密碼的概率為1-P(·)=1-P()P()=1-=.

    方法歸納 解答這類概率綜合問題時，一般“大化小”，即將問題劃分為若干個彼此互斥事件，然后運用概率的加法公式和乘法公式來解決.在運用乘法公式時，一定要注意是否滿足彼此獨立，只有彼此獨立才能運用乘法公式.

    深化升華 在求事件的概率時，有時遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的問題，如果從正面考慮這些問題，它們是諸多事件的和或積，求解過程繁瑣，但它們的對立事件卻往往較簡單，其概率也易求，此時，可逆向思維，先求其對立事件的概率，再利用概率的和與積的互補公式，求得原來事件的概率，即正難則反.