Question

18．已知非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，則“$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線”是“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線”的（　　）

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 設(shè)出兩個(gè)命題，利用充分必要條件的定義對(duì)p⇒q，q⇒p分別進(jìn)行判斷．

解答 解：設(shè)命題q：“$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線”，設(shè)命題“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線”，
顯然命題q成立時(shí)，命題p成立，所以q是P成立的充分條件；
當(dāng)“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$共線”時(shí)，根據(jù)共線的定義有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
則$λ\overrightarrow+\overrightarrow=λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$，由于非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，所以λ≠±1，
那么$\overrightarrow=\frac{λ-1}{λ+1}\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線，所以q是p 必要條件；
綜上可得，q是p的充要條件；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共線向量以及充分必要條件的判斷，關(guān)鍵是判斷條件與結(jié)論的關(guān)系．