Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值是f（-1），通過(guò)討論f（-1）的符號(hào)，得到a的范圍，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-1，則f′（x）=x²-1，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，在（-1，1）遞減；
（Ⅱ）由題意得：f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），a＞0，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞a，由f′（x）＜0，得-1＜x＜a，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（a，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，a）單調(diào)遞減，
函數(shù)的極大值是f（-1）=$\frac{1-3a}{6}$，又f（0）=-a＜0，
∴當(dāng)f（-1）＜0，即a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）上沒(méi)有零點(diǎn)，
當(dāng)f（-1）=0，即a=$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）只有一個(gè)零點(diǎn)x=-1，
當(dāng)f（-1）＞0，即a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2，-1）單調(diào)遞增，在（-1，0）單調(diào)遞減，
且f（-2）＜0，f（0）=-a＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）上有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上，0＜a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
a=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，0）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）在區(qū)間（-2，0）上沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論思想，第二問(wèn)中求出函數(shù)的極大值并討論出a的范圍是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．