Question

如圖2-3-30,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

圖2-3-30

(1)證明:PA∥平面EDB;

(2)證明:PB⊥平面EFD.

Answer 1

證明:(1)連結(jié)AC,AC交BD于O.連結(jié)EO,如圖2-3-31.

圖2-3-31

∵底面ABCD是正方形,

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).

在△PAC中,EO是中位線,

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB.

所以PA∥平面EDB.

(2)∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD.

∴PD⊥DC.

∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線.

∴DE⊥PC.①

同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC.

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC.

∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC.

∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E.所以PB⊥平面EFD.