Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+x-3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，4）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）將（5，4）點(diǎn)代入函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+x-3的解析式，解得實(shí)數(shù)a的值；
（2）先分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得答案．

解答 （1）解：（∵函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+x-3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5，4）
∴l(xiāng)og_a（5-1）+5-3=4，
解得：a=2；
（2）證明：∵f（x）=log₂（x-1）+x-3為增函數(shù)，
f（2）=-1＜0，f（2）=1＞0，
故f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．