Question

1．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，則y的取值范圍為[$\frac{2}{3}$，2]．

Answer 1

分析 把x，z看成是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式及韋達(dá)定理，得到y(tǒng)的取值范圍．

解答 解：∵x+y+z=4，
∴x+z=4-y，①
∵xy+yz+zx=5，
∴xz=5-（yz+xy）=5-y（x+z）=5-y（4-y），
即xz=5-4y+y²，②
由①②及韋達(dá)定理知：x，z是一元二次方程t²-（4-y）t+（5-4y+y²）=0的兩實(shí)根，
則判別式△=（4-y）²-4（5-4y+y²）≥0，
且4-y＞0，5-4y+y²＞0，
化簡(jiǎn)得：3y²-8y+4≤0，
∴$\frac{2}{3}$≤y≤2．
故答案為：[$\frac{2}{3}$，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式求出y的取值范圍，屬于中檔題．