Question

19．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E．
（1）求證：$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
（2）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理推導出△PAB～△PCA，由此能證明$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
（2）由切割線定理得PA²=PB•PC，由AE是∠BAC的角平分線，得△AEC～△ABD，由此能求出AD•AE的值．

解答 證明：（1）∵PA為圓O的切線，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P為公共角，∴△PAB～△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$（4分）
解：（2）∵PA為圓O的切線，BC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC，∴PC=40，BC=30，
又∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=900，
又由（1）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{2}$，∴$AC=12\sqrt{5}$，$AB=6\sqrt{5}$，
∵AE是∠BAC的角平分線，且∠AEC=∠ABD，∴△AEC～△ABD，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴$AD•AE=AB•AC=6\sqrt{5}×12\sqrt{5}=360$．（10分）

點評 本題考查兩組線段比值相等的證明，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦切角定理和切割線定理的合理運用．