Question

12．如圖，點P是正方形ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．
（1）求證：EF⊥平面PCD；
（2）求直線BD與平面EFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件利用做線段的中點，利用三角形的中位線，得到線線垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線面垂直，再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到線線垂直，最后得到線面垂直．
（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用線段的長求出空間點的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用法向量知識最后求出線面的夾角的正弦值．

解答 證明：（1）點P是正方形ABCD外一點，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．
取CD的中點G，連接FG，EG，
所以：FG∥PD，
PA⊥平面ABCD，
所以：PA⊥CD，
由于四邊形ABCD為正方形，
所以：CD⊥AD
則：CD⊥平面PAD，
所以：CD⊥PD，
在平面PCD中，F(xiàn)G∥PD，
所以：FG⊥CD．
由于E、G是AB和CD的中點，
所以：EG⊥CD，
則：CD⊥平面EFG，
所以EF⊥CD．
連接PE和CE，PA=AB=2，
利用勾股定理得到：EP=EC=$\sqrt{5}$
F是PC的中點，
則：△EPC為等腰三角形．
所以：EF⊥PC．
由于：EF⊥CD，
所以：EF⊥平面PCD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則根基題中已知條件：
則：B（2，0，0），D（0，2，0），E（1，0，0），F(xiàn)（1，1，1），C（2，2，0），
所以：$\overrightarrow{EF}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{CF}=（-1，-1，1）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，
設(shè)平面CEF的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
所以：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\-x-y+z=0\end{array}\right.$
解得：$\overrightarrow{n}=（2，-1，1）$
設(shè)直線BD與平面EFC所成角為θ，
則sinθ=$cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，法向量的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用，向量的角角公式的應(yīng)用，及相關(guān)的運算問題．