Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），（x≤1）}\\{2|x-5|-2，（3≤x≤7）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，則實數(shù)a的取值范圍為$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，利用已知條件列出關系式，然后求解a的范圍即可．

解答 解：作出如圖：，
因為函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_a}（{2-x}）}&{（{x≤1}）}\\{2|{x-5}|-2}&{（{3≤x≤7}）}\end{array}，（a＞0且a≠1）$，
的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，
所以函數(shù)y=log₂a，y=2|x-5|-2在[3，7]上有且只有一個交點，
當對數(shù)函數(shù)的圖象過（3，2）點時，
由log_a3=2，解得a=$\sqrt{3}$；
當對數(shù)函數(shù)的圖象過（7，2）點時，
由log_a7=2，解得a=$\sqrt{7}$．
當對數(shù)函數(shù)的圖象過（5，-2）時，
由$lo{g_a}5=-2⇒a=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以a的取值范圍為$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．
故答案為：$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的圖象的應用，考查數(shù)形結合思想以及轉化思想的應用．