Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=3x+2，求a，b的值
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由已知切線方程，可得a，b的方程組，即可解得a，b；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，對a討論，當a＜0時，當a＞0時，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：（1）曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=3x+2，
所以f′（2）=3，f（2）=8，又f′（x）=3x²-3a
則$\left\{\begin{array}{l}3×{2^2}-3a=3\\{2^3}-3a×2+b=8\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=18\end{array}\right.$；
（2）因為f′（x）=3x²-3a（a≠0）．
當a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）遞增，
此時函數(shù)f（x）沒有極值點；
當a＞0時，由f′（x）=0，解得$x=±\sqrt{a}$，
當$x∈（{-∞，-\sqrt{a}}）$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當$x∈（{-\sqrt{a}，\sqrt{a}}）$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當$x∈（{\sqrt{a}，+∞}）$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
此時$x=-\sqrt{a}$是f（x）的極大值點，$x=\sqrt{a}$是f（x）的極小值點，
f（x）的極大值為$f（-\sqrt{a}）=2a\sqrt{a}+b$，f（x）的極小值為$f（\sqrt{a}）=-2a\sqrt{a}+b$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導數(shù)的幾何意義和二次不等式的解法，運用分類討論的思想方法和正確求導是解題的關(guān)鍵．