Question

9．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，∠DAB=$\frac{π}{4}$，邊長為2的正方形CDEF所在平面垂直平面ABCD，設(shè)N是AB的中點，M是直線DE上的動點（如圖）．
（Ⅰ）若M是DE的中點，求證：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直線MN與直線AD所成角等于直線MN與平面ABCD所成角的2倍，求DM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CF的中點O，連接OM，證明OMNB是平行四邊形，可得MN∥OB，即可證明MN∥平面FCB；
（Ⅱ）確定直線MN與直線AD所成角、直線MN與平面ABCD所成角，利用2倍關(guān)系，建立方程即可求DM的長．

解答 解：（Ⅰ）取CF的中點O，連接OM，則
∵AB∥CD，CDEF是正方形，M是DE的中點，
∴OM∥NB，OM=NB，
∴OMNB是平行四邊形，
∴MN∥OB，
∵M(jìn)N?平面FCB，OB?平面FCB，
∴MN∥平面FCB；
（Ⅱ）連接CN，則ADCN是平行四邊形，
∴AD∥CN，
∴∠MNC就是直線MN與直線AD所成角，
∵ED⊥平面ABCD，
∴∠MND是直線MN與平面ABCD所成角，
設(shè)DM=x，則
∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠DAB=$\frac{π}{4}$，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴DN=$\sqrt{2+4-2•\sqrt{2}•2•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2+{x}^{2}}$
∴cos∠MND=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+{x}^{2}}}$，
∵M(jìn)N=$\sqrt{2+{x}^{2}}$，CN=$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
∴cos∠MNC=$\frac{2+2+{x}^{2}-4-{x}^{2}}{2\sqrt{2}•\sqrt{2+{x}^{2}}}$=0，
∴∠MNC=90°，
∵直線MN與直線AD所成角等于直線MN與平面ABCD所成角的2倍，
∴∠MND=45°，
∴cos∠MND=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+{x}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，即DM=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．