Question

12．橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$，一個焦點(diǎn)是（0，-2），試求橢圓的離心率和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得a²-b²=4①，又由其長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$，可得$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$②，聯(lián)立①②，解可得a²、b²的值，由橢圓的離心率公式計算橢圓的離心率，將a²、b²的值代入橢圓的方程即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的一個焦點(diǎn)是（0，-2），即c=2，則有a²-b²=4，①
又由其長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$，即$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$，②
聯(lián)立①②，解可得a²=$\frac{16}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$，
即a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{3}}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．