Question

2．已知p：2a≤x≤a²+1，q：x²-3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)A={x|2a≤x≤a²+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，由于p是q的充分條件，可得A⊆B．
（1）當(dāng)a≥$\frac{1}{3}$時(shí)，此時(shí)B={x|2≤x≤3a+1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，B={x|3a+1≤x≤2}，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$．

解答 解：x²-3（a+1）x+6a+2≤0，化為（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
設(shè)A={x|2a≤x≤a²+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分條件，∴A⊆B．
（1）當(dāng)a≥$\frac{1}{3}$時(shí)，B={x|2≤x≤3a+1}，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$，解得1≤a≤3．
（2）當(dāng)a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，B={x|3a+1≤x≤2}，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$，解得a=-1．
∴實(shí)數(shù)a取值范圍是{a|1≤a≤3，或a=-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．