Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求證：當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞x+$\frac{{x}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到所求切線的方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-（x+$\frac{{x}^{2}}{3}$），0＜x＜1，求得導(dǎo)數(shù)，判斷符號，由單調(diào)性即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=-$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
可得在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為2，切點(diǎn)（0，0），
即有在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x；
（2）證明：由y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-（x+$\frac{{x}^{2}}{3}$），0＜x＜1，
導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{（1-x）^{2}}$-（1+$\frac{2}{3}$x）
=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-（1+$\frac{2}{3}$x），
由0＜x＜1可得1+$\frac{2}{3}$x∈（1，$\frac{5}{3}$），
$\frac{2}{1-{x}^{2}}$∈（2，+∞），
即有導(dǎo)數(shù)y′＞0在（0，1）恒成立，
則有函數(shù)y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-（x+$\frac{{x}^{2}}{3}$），在（0，1）遞增，
則有l(wèi)n$\frac{1+x}{1-x}$-（x+$\frac{{x}^{2}}{3}$）＞0，
故有當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞x+$\frac{{x}^{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運(yùn)用單調(diào)性，屬于中檔題．