Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，且b₁=4
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•log₂b_n，其前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）c_n=a_n•log₂b_n=（4-2n）•3ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）對于數(shù)列{a_n}有${S_n}=\frac{3}{2}（{a_n}-1）$①
${S_{n-1}}=\frac{3}{2}（{a_{n-1}}-1）{\;}_{\;}^{\;}（n≥2）$②
由①-②得${a_n}=\frac{3}{2}（{a_n}-{a_{n-1}}）即{a_n}=3{a_{n-1}}$，
當(dāng)$n=1時(shí)，{S_1}=\frac{3}{2}（{a_1}-1）即{a_1}=3$，
則${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=3•{3^{n-1}}={3^n}$．
對于數(shù)列{b_n}有：${b_{n+1}}=\frac{1}{4}{b_n}$，
可得${b_n}=4{（\frac{1}{4}）^{n-1}}={4^{2-n}}$．
（2）由（1）可知：${c_n}={a_n}•{log_2}{b_n}={3^n}•{log_2}{4^{2-n}}={3^n}•{log_2}{2^{4-2n}}={3^n}（4-2n）$．
T_n=2•3¹+0•3²+（-2）•3³+…+（4-2n）•3ⁿ，
3T_n=2•3²+0•3³+…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=2•3+（-2）•3²+（-2）•3²…+（-2）•3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹
=6+（-2）（3²+3²+…+3ⁿ）-（4-2n）•3ⁿ⁺¹，
則T_n=$-3+\frac{{9（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}+（2-n）{3^{n+1}}=\frac{15}{2}+（\frac{5}{2}-n）•{3^{n+1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．