Question

18．已知正數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，則$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值為（　�。�

• A． 26
• B． 25
• C． 24
• D． 23

Answer 1

分析 由已知條件可得y=$\frac{x}{x-1}$，且x-1＞0，代入變形可得 $\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1），由基本不等式可得．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴y=$\frac{x}{x-1}$，∴x-1＞0，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{\frac{9x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}$=$\frac{4x}{x-1}$+9x=$\frac{4（x-1）+4}{x-1}$+9（x-1）+9
=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1）
≥13+2 $\sqrt{\frac{4}{x-1}•9（x-1）}$=25，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x-1}$=9（x-1）即x=$\frac{5}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值為：25，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，消元并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．