Question

7．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2．若雙曲線C的右支上存在點(diǎn)P，使得PF₁⊥PF₂．設(shè)直線PF₂與y軸交于點(diǎn)A，且△APF₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{1}{2}$，則雙曲線C的離心率為2．

Answer 1

分析 本題先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑得到邊長的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義和圖形的對稱必，求出a的值，由|F₁F₂|=2，求出c的值，從而得到雙曲線的離心率，得到本題結(jié)論．

解答 ：∵PF₁⊥PF₂，△APF₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{1}{2}$，
∴|PF₁|+|PA|-|AF₁|=1，
∴|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=1，
∴|AF₂|-|AF₁|=1-2a，
∵由圖形的對稱性知：|AF₂|=|AF₁|，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∵|F₁F₂|=2，
∴c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的定義、圖形的對稱性，本題難度不大，屬于中檔題．