Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓：與拋物線：有相同焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知直線過橢圓的另一焦點(diǎn)，且與拋物線相切于第一象限的點(diǎn)，設(shè)平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)△面積最大時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于拋物線的焦點(diǎn)為，得到，又得到．

（Ⅱ）思路一：設(shè)，，

直線的方程為即且過點(diǎn)

，

切線方程為

由，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組

由，消整理得

設(shè)，，應(yīng)用韋達(dá)定理

得，由點(diǎn)到直線的距離為,應(yīng)用基本不等式等號成立的條件求得

思路二：，由已知可知直線的斜率必存在，設(shè)直線

由消去并化簡得

根據(jù)直線與拋物線相切于點(diǎn)．得到，．

根據(jù)切點(diǎn)在第一象限得；由∥，設(shè)直線的方程為

由，消去整理得， 思路同上．

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，

，又

橢圓方程為． 4分

（Ⅱ）（法一）設(shè)，，

直線的方程為即且過點(diǎn)

，

切線方程為 6分

因?yàn)?/span>，所以設(shè)直線的方程為，

由，消整理得 7分

，解得 ①

設(shè)，，則

∴

8分

直線的方程為，

點(diǎn)到直線的距離為 9分

， 10分

由①，

（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號）

最大

所以，所求直線的方程為：． 12分

（法二），由已知可知直線的斜率必存在，

設(shè)直線

由 消去并化簡得

∵直線與拋物線相切于點(diǎn)．

∴，得． 5分

∵切點(diǎn)在第一象限．

∴ 6分

∵∥

∴設(shè)直線的方程為

由，消去整理得， 7分

，解得．

設(shè)，，則

，

． 8分

又直線交軸于

10分

當(dāng)，即時(shí)，． 11分

所以，所求直線的方程為． 12分