Question

9．已知拋物線方程為y²=2p（x+1）（p＞0），直線l：x+y=m過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，則p=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由于直線l：x+y=m過拋物線的焦點(diǎn)，得到直線l的方程，再將l的方程代入拋物線方程y²=2p（x+1）（p＞0），消去x，得y²+2py-p²-2p=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂，y₁y₂；再由弦長公式|AB|=x₁+x₂+p，可求得|AB|=4p=3，從而求得p的值．

解答 解：由直線l過拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），得直線l的方程為x+y=$\frac{p}{2}$．
代入拋物線方程為y²=2p（x+1）（p＞0），消去x，得y²+2py-p²-2p=0．
設(shè)直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-p²-2p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=2p-（y₁+y₂）=4p=3，
解得p=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)以及弦長公式的應(yīng)用，也考查了一定的計(jì)算能力，解題時(shí)要靈活運(yùn)用公式，正確解答．