Question

19．在探究系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，可按下述方法進(jìn)行：設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程a₂x²+a₁x+a₀=0…①
在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x₁，x₂，則方程①可變形為a₂（x-x₁）（x-x₂）=0，展開得a₁x²-a₂（x₁+x₂）x+a₂x₁x₂=0，…②比較①②可以得到：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}_{0}}{{a}_{2}}}\end{array}\right.$類比上述方法，設(shè)實(shí)系數(shù)一元n次方程a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0（n≥2且n∈N^*）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x₁，x₂，…，x_n，則這n個(gè)根的積$\underset{\stackrel{n}{Π}}{i=1}$x_i=${（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 利用題意結(jié)合所給的方法待定系數(shù)法可求得一元三次方程中三個(gè)根乘積的關(guān)系，然后求解一元四次方程四個(gè)根乘積的關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行歸納推理即可求得最終結(jié)果．

解答 解：考查一元三次方程：${a}_{3}{x}^{3}+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{1}x+{a}_{0}=0$        ①，
在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x₁，x₂，x₃，則方程①可變形為a₃（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=0，
展開得 ${a}_{3}{x}^{3}-{a}_{3}（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}）{x}^{2}+{a}_{3}（{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{3}+{x}_{2}{x}_{3}+）{x}^{2}-{a}_{3}{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}=0$   ②，
結(jié)合①②可得：${x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}=-\frac{{a}_{0}}{{a}_{3}}$，
同理考查一元四次方程可得：${x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4}=\frac{{a}_{0}}{{a}_{4}}$，
據(jù)此歸納可得：$\prod_{i=1}^{n}{x}_{i}={（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．
故答案為：${（-1）}^{n}\frac{{a}_{0}}{{a}_{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，根與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．