Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x（1-x），若數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，則f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=（　�。�

• A． -8
• B． 8
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)條件設(shè)x＞0，從而有-x＜0，這樣即可求出f（x）=x（1+x），根據(jù)${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$可求數(shù)列{a_n}的前四項，從而會發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，這樣便可以求出a₂₀₁₅和a₂₀₁₆的值，從而可求出f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）的值．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0；
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；
∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）；
由${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$得：
${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，…；
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列；
∴a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂=2，a₂₀₁₆=a_671×3+3=a₃=-1；
∴f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=f（2）+f（-1）=2（1+2）+（-1）（1+1）=4．
故選：D．

點評 考查奇函數(shù)的定義，對于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，而求其對稱區(qū)間上的解析式的方法，根據(jù)數(shù)列的首項和遞推公式可以求該數(shù)列的前幾項，以及周期數(shù)列的概念，已知函數(shù)求值的方法．