Question

6．已知p，m＞0，拋物線E：x²=2py上一點M（m，2）到拋物線焦點F的距離為$\frac{5}{2}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如圖所示，過F作拋物線E的兩條弦AC和BD（點A、B在第一象限），若k_AB+4k_CD=0，求證：直線AB經(jīng)過一個定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義列出關(guān)于p的方程，求出p，得到拋物線的方程，把點M（m，2）的坐標(biāo)代入，解得m．
（Ⅱ）解法1：設(shè)AB、AC的方程為y=k₁x+b，$y={k_2}x+\frac{1}{2}$與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用韋達定理，結(jié)合k_AB+4k_CD=0，求解即可．
解法2：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），設(shè)AC的方程為，$y=kx+\frac{1}{2}$，與拋物線方程聯(lián)立，得x²-2kx-1=0，推出x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，求出直線AB的方程為$y-\frac{x_1^2}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}（x-{x_1}）$化簡得直線AB恒經(jīng)過點（0，-2）．

解答 解：（Ⅰ）由點M（m，2）到拋物線焦點F的距離為$\frac{5}{2}$，
結(jié)合拋物線的定義得，$2+\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$，即p=1，---------------------------------------（2分）
拋物線的方程為x²=2y，把點M（m，2）的坐標(biāo)代入，可解得m=2；------------------（3分）
（Ⅱ）解法1：顯然直線AB、AC的斜率都存在，
分別設(shè)AB、AC的方程為y=k₁x+b，$y={k_2}x+\frac{1}{2}$---------------------------------（4分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+b}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2k₁x-2b=0，------------------------------------------（5分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}x+\frac{1}{2}}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2k₂x-1=0，-------------------------------------------（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則x₁x₂=-2b，x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，--------------------------------------（7分）
故${k_{AB}}+4{k_{CD}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{{y_4}-{y_3}}}{{{x_4}-{x_3}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（x_4^2-x_3^2）}}{{{x_4}-{x_3}}}$---------------------（8分）
=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+2（{x_3}+{x_4}）=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-2（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=0$，-----------------------------------（9分）
注意到點A、B在第一象限，x₁+x₂≠0，∴$\frac{1}{2}-\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}=0$---------------------------（10分）
故得x₁x₂=4，-2b=4，∴b=-2，即直線恒經(jīng)過點（0，-2）．----------------------（12分）
解法2：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
顯然直線AC的斜率都存在，設(shè)AC的方程為，$y=kx+\frac{1}{2}$----------------------------（4分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x^2}=2y}\end{array}}\right.$，得x²-2kx-1=0，---------------------------------------------（5分）
∴x₁x₃=-1，同理，x₂x₄=-1，--------------------------------------------------（6分）
故${k_{AB}}+4{k_{CD}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{{y_4}-{y_3}}}{{{x_4}-{x_3}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）}}{{{x_2}-{x_1}}}+4•\frac{{\frac{1}{2}（x_4^2-x_3^2）}}{{{x_4}-{x_3}}}$---------------------（8分）
=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+2（{x_3}+{x_4}）=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-2（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=0$，-----------------------------------（9分）
注意到點A、B在第一象限，x₁+x₂≠0，
∴$\frac{1}{2}-\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}=0$，故得x₁x₂=4，-------------------------------------------------（10分）
直線AB的方程為$y-\frac{x_1^2}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}（x-{x_1}）$化簡得$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}x-\frac{{{x_1}{x_2}}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}x-2$
即直線AB恒經(jīng)過點（0，-2）．----------------------------------------------------（12分）．

點評 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．