Question

7．在各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}+\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{31}{16}$，則a₃=4．

Answer 1

分析 設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由題意列式，整體運(yùn)算得到${{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=16$，則a₃可求．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列a_n的公比為q，則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比數(shù)列，
且公比為$\frac{1}{q}$，依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}=31}\\{\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{5}}）}{1-\frac{1}{q}}=\frac{31}{16}}\end{array}\right.$，
兩式作比得：${{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=16$，即${a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}=±4$，
∵a_n＞0，∴a₃=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．