Question

6．函數(shù)f（x）=lnx-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 令g（x）=lnx，h（x）=x+a，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，分別畫出圖象，先求出直線y=x+a，與曲線y=lnx相切時(shí)a的值，即而到到圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴f（x）=lnx-x-a=0有兩個(gè)不同的根，
∴l(xiāng)nx=x+a，
令g（x）=lnx，h（x）=x+a，
在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，
當(dāng)直線y=x+a，與曲線y=lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀+a），
∴k=1=g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴x₀=1，
∴g（x₀）=0=1+a，
∴a=-1，
故當(dāng)a＜-1函數(shù)g（x），h（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是求出直線和曲線相切時(shí)參數(shù)的值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．