Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，2a_n+1=S_n+2．
（1）求a₂，a₃，并求數(shù)列通項(xiàng)公式a_n；
（2）求S_n；
（3）求{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由條件，將n換成n-1，兩式相減，由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用已知2a_n+1=S_n+2，即可解得前n項(xiàng)和為S_n；
（3）由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）a₁=1，2a_n+1=S_n+2，
即有2a_n=S_n-1+2，n＞1．
相減可得，2a_n+1-2a_n=a_n，
即為a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，
由2a₂=a₁+2，可得a₂=$\frac{3}{2}$，
2a₃=a₁+a₂+2，可得a₃=$\frac{9}{4}$，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=$\frac{3}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2，n＞1．
即有a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，對(duì)n=1也成立，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1；
（2）由2a_n+1=S_n+2，可得
S_n=2a_n+1-2=2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ-2；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{2}{3}$）^n-1；
則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=3-3•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．