Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角A為銳角且滿足cos（$\frac{π}{4}$+A）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求△ABC的面積；
（2）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由A=（A+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$，運用兩角差的余弦公式，和同角的平方關(guān)系，計算可得cosA，sinA，進(jìn)而得到三角形的面積；
（2）運用余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，計算即可得到．

解答 解：（1）由A為銳角，$\frac{π}{4}$+A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
則sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
則cosA=cos（A+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（A+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{3}{5}$，
sinA=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．可得cbcosA=3，
即為bc=5，
△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4}{5}$=2；
（2）b+c=6，由（1）可得bc=5，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc-2bc•$\frac{3}{5}$
=36-10-6=20，
則a=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查余弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．