Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinωx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$（ω＞0），其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，則f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)已知函數(shù)可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），由圖象和周期性可得ω值，由x的范圍和三角函數(shù)最值可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式可得f（x）=sinωx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$
=sinωx+$\sqrt{3}$（1-2sin²$\frac{ωx}{2}$）=sinωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬中檔題．