Question

9．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，⊙O與邊BC的交點D恰為BC邊的中點，過點D作DE⊥AC于點E．
（I）求證：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若∠B=30°，求$\frac{{{A}{E}}}{DC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OD．證明OD∥AC．推出DE⊥OD，得到DE是⊙O的切線．
（Ⅱ）說明AD⊥BC．求出∠ADE=30°．在直角三角形AED與在直角三角形DEC中求解所求比值即可．

解答 解：（Ⅰ）如圖，連接OD．
因為O是AB的中點，D是BC的中點，
所以 OD∥AC．
因為DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切線．…（5分）
（Ⅱ）因為AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，所以AD⊥BC．
又D是BC的中點，所以 AB=AC．故∠ACD=∠B=30°．
因為DE⊥AC，所以∠ADE=30°．在直角三角形AED中，$\frac{AE}{DE}=tan{30°}$；
在直角三角形DEC中，$\frac{DE}{DC}=sin{30°}$．
于是$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（10分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形的解法，考查計算能力．