Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，-4），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$=$\frac{5}{2}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)題中的條件求出x+2y=-$\frac{5}{2}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$，再利用兩個(gè)向量的夾角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，-4），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，
且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$=$\frac{5}{2}$，
可得-x-2y=$\frac{5}{2}$，
即有x+2y=-$\frac{5}{2}$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$，
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為等于θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{2}$．
再由0≤θ≤π，
可得 θ=$\frac{2π}{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題