Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3）上的值域；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值；
（3）求f（x）在[-5，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)在[-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，3]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3）上的值域；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，分類(lèi)討論，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值；
（3）由于二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，分①當(dāng)-a＜-5、②當(dāng)-5≤-a＜0、③當(dāng)0≤-a≤5、④當(dāng)-a＞5四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
函數(shù)在[-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，3]上單調(diào)遞增，
∴x=-1，f（x）_min=1，x=3，f（x）_max=17，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3）上的值域是[1，17]；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
t$＜\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值f（t）=（t-1）²+1；
t≥$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值f（t+1）=t²+1；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值$\left\{\begin{array}{l}{（t-1）^{2}+1，t＜\frac{1}{2}}\\{{t}^{2}+1，t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（3）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，
①當(dāng)-a＜-5，即a＞5時(shí)，函數(shù)y在[-5，5]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最小值為27-10a；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27+10a．
②當(dāng)-5≤-a＜0，即0＜a≤5時(shí)，當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2-a²；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27+10a．
③當(dāng)0≤-a≤5，即-5≤a≤0時(shí)，x=-a時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2-a²；當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27-10a．
④當(dāng)-a＞5，即a＜-5時(shí)，函數(shù)y在[-5，5]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)y取得最大值為27-10a；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)y取得最小值為27+10a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．