Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N^*，2$\sqrt{{S}_{n}}$是a_n+2和a_n的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1；
（Ⅲ）求滿足不等式2S_n-4200＞$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2$\sqrt{{S}_{n}}$是a_n+2和a_n的等比中項(xiàng)，得$4{S}_{n}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}$，且a_n＞0．取n=1解得a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，得另一遞推式兩式作差得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．由此可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n=2n；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可得$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$是增函數(shù)證明不等式左邊，裂項(xiàng)相消能夠證明$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1；
（Ⅲ）由2S_n-4200＞$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$得2n（n+1）-4200＞2n²，直接解數(shù)列不等式可得滿足不等式2S_n-4200＞$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$的最小正整數(shù)n．

解答 （Ⅰ）解：由已知，得$4{S}_{n}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}$，且a_n＞0．
當(dāng)n=1時(shí)，$4{{a}_{1}}^{2}={{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}$，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，有4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n-1}$．
于是4S_n-4S_n-1=${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$，
即$4{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$．
于是${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=2{a}_{n}+2{a}_{n-1}$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）證明：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴${S}_{n}=2n+\frac{2n（n-1）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$．
則$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$＜1；
（Ⅲ）解：由2S_n-4200＞$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$，
得2n（n+1）-4200＞2n²，即2n-4200＞0，
∴n＞2100，
∴滿足不等式2S_n-4200＞$\frac{{a}_{n}^{2}}{2}$的最小正整數(shù)n為2101．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的確定，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列不等式的解法，屬中高檔題．