Question

3．在△ABC中，若∠A=60°，a=1，求△ABC內切圓半徑R的最大值．

Answer 1

分析 當A在$\widehat{AB}$的中點時，A距離BC最遠，△ABC內切圓半徑R的最大，根據圓的性質可知當△ABC內切圓半徑R的最大時，△ABC為正三角形，進而可求滿足條件的內切圓半徑

解答 解：當A在$\widehat{AB}$的中點時，A距離BC最遠，△ABC內切圓半徑R的最大，
設△ABC外接圓半徑r，外接圓的圓心O，內切圓的圓心M，
連接AO交BC于點D，
∵A在$\widehat{AB}$的中點且O為三角形的外心，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=AC，
∵A=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴M在AD上，且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設AB與⊙M切于E，連接EM，則EM=EMD=R，
∵∠A=60°，
∴∠BAD=30°，
Rt△AEM中，AM=2EM=2R，
∵AM+MD=AD∴2R+R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即R的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$

點評 本題主要考查了三角形的內切圓的性質，理解內心的含義是求解本題的關鍵．