Question

18．已知函數(shù)f（x）=（mx+1）（lnx-3）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）設(shè)點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足lnx₁•lnx₂=3ln（x₁•x₂）-8，（x₁≠x₂），判斷是否存在點P（m，0），使得∠APB為直角？說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過m=1，求出取得坐標(biāo)，切線的斜率，然后求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）設(shè)點P（m，0），A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足lnx₁•lnx₂=ln（x₁•x₂）（x₁≠x₂），化簡向量數(shù)量積的表達(dá)式，推出數(shù)量積是否為0，即可判斷是否存在實數(shù)m，使得∠APB為直角；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)大于等于0．構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的值域，求解實數(shù)m的取值范圍；

解答 解：（1）m=1，函數(shù)f（x）=（x+1）（lnx-3）．
∴f（1）=-6，切點坐標(biāo)（1，-6），
∴f′（x）=（lnx-3）+（x+1）$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
∴切線方程為：y-6=x-1．
∴切線方程為x+y+5=0；
（2）依題意得$\overrightarrow{PA}$=（x₁-m，f（x₁）），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-m，f（x₂）），
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+f（x₁）f（x₂）
=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（lnx₁-3）（mx₂+1）（lnx₂-3）
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+（m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1）（lnx₁lnx₂-3（lnx₁+lnx₂）+9）
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+（m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1）
=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0
∴不存在實數(shù)m，使得∠APB為直角；
（3）∵f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）$•\frac{1}{x}$=$\frac{mx（lnx-2）+1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
有mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=x（lnx-2），
∴h′（x）=lnx-1，
∴h（x）在（0，e）是減函數(shù)，在（e，+∞）是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（e）=-e，
∴h（x）值域[-e，+∞），
即mt+1≥0在t∈[-e，+∞）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-me+1≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．