Question

1．已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{x}^{2}}{2}，0≤x≤2}\\{\frac{x}{1-x}，x＞2}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）在（t，t+2）上的值域是$（-\frac{3}{2}，0]$，則實(shí)數(shù)t的值的集合為{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-2}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，
∴若-2≤x≤0，則0≤-x≤2，則f（-x）=$-\frac{{x}^{2}}{2}$=f（x），
即當(dāng)-2≤x≤0，f（x）=$-\frac{{x}^{2}}{2}$，
若x＜-2，則-x＞2，則f（-x）=$\frac{-x}{1+x}$=f（x），
即當(dāng)x＜-2，f（x）=$-\frac{x}{1+x}$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=-2，
由$-\frac{{x}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$得x²=3，x=±$\sqrt{3}$，
由$\frac{x}{1-x}$=-$\frac{3}{2}$得x=3，
由$\frac{-x}{1+x}$=-$\frac{3}{2}$得x=-3，
若函數(shù)的值域?yàn)?（-\frac{3}{2}，0]$，
則t＜0＜t+2即-2＜t＜0，
當(dāng)t=-$\sqrt{3}$時(shí)，f（t）=-$\frac{3}{2}$，此時(shí)t+2=2-$\sqrt{3}$，
∵0＜2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$，
∴滿足函數(shù)的值域?yàn)?（-\frac{3}{2}，0]$，
若t+2=$\sqrt{3}$時(shí)，即f（t+2）=-$\frac{3}{2}$，此時(shí)t=$\sqrt{3}$-2，
∵-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$-2＜0，
∴滿足函數(shù)的值域?yàn)?（-\frac{3}{2}，0]$，
綜上t=-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$-2，
故答案為：{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-2}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．