Question

19．在△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c滿足c=2acosBcosC+2bcosCcosA，且△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{13}$，則a+b=（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 利用正弦定理，代入，根據(jù)，兩角和的正弦公式即可求得C，根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理，即可求得a²+b²，由完全平方公式即可求得a+b的值．

解答 解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由c=2acosBcosC+2bcosCcosA，則2RsinC=2×2RsinA×cosBcosC+2×2RsinB×cosCcosA，
sinC=2cosC（sinAcosB+sinBcosA），
∴sinC=2cosCsin（A+B）
由C=π-（A+B），
則sinC=2cosCsinC，
由sinC≠0，則2cosC=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
則ab=12，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
則a²+b²=25，
由（a+b）²=a²+2ab+b²=49，
則a+b=7，
故選D．

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于中檔題．