Question

10．如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n為實(shí)數(shù)），則m+n的取值范圍是（　　）

• A． $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$
• B． $[{\frac{3}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$
• C． $[{\frac{3}{4}，\frac{9}{4}}]$
• D． $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{9}{4}}]$

Answer 1

分析 如圖所示，$\overrightarrow{AB}$=（ 4，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，4）．可得 $\overrightarrow{AP}$=m $\overrightarrow{AB}$+n $\overrightarrow{AD}$=（ 4m，4n）．當(dāng)圓心為點(diǎn)B時，AP與⊙B相切且點(diǎn)P在x軸的下方時，P（ 4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
此時m+n取得最小值；當(dāng)圓心為點(diǎn)C時，AP經(jīng)過圓心時，P（ $4+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$4+\frac{\sqrt{2}}{2}$）．此時m+n取得最大值．

解答 解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點(diǎn)，向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n為實(shí)數(shù)）； $\overrightarrow{AB}$=（ 4，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，4）．可得 $\overrightarrow{AP}$=m $\overrightarrow{AB}$+n $\overrightarrow{AD}$=（ 4m，4n）．
當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)C時，如圖：P（ $4+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$4+\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
此時m+n取得最大值：4m+4n=8+$\sqrt{2}$，可得m+n=2+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
當(dāng)動圓Q的圓心為點(diǎn)B時，AP與⊙B相切且點(diǎn)P在x軸的下方時，$\overrightarrow{AP}=（4+cosθ，sinθ）$，
此時，4m+4n=4-$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
m+n取得最小值為：1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；此時P（ 4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴則m+n的取值范圍為$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．