Question

16．某商場欲研究每天平均氣溫與商場空調(diào)日銷量的關(guān)系，抽取了去年10月1日至5日每日平均氣溫與空調(diào)銷量的數(shù)據(jù)，得到如下資料：

日期	1日	2日	3日	4日	5日
平均氣溫x（°C）	29	26	24	22	20
銷量y（件）	11	8	7	5	3

該商場確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；
（2）若選取的是10月1日至2日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)10月3日至10月5日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=bx+a$；
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2件，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得到的線性回歸方程是否可靠？

Answer 1

分析 （1）利用列舉法求出對應(yīng)的基本事件數(shù)，計(jì)算對應(yīng)的概率即可；
（2）利用公式計(jì)算$\overline{x}$與$\overline{y}$，求出回歸直線方程的系數(shù)，即得所求線性回歸方程；
（3）驗(yàn)證x=29與x=26時(shí)，觀測值與估計(jì)值，是否滿足條件即可．

解答 解：（1）設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)”為事件A，
∵所有基本事件（m，n）（其中m，n為1月份的日期數(shù)）有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）共有10種；
事件A包括的基本事件有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）共4種；
∴抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率為
P（A）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{24+22+20}{3}$=22，$\overline{y}$=$\frac{7+5+3}{3}$=5，
∴由公式，得b=$\frac{（24-22）（7-5）+（22-22）（5-5）+（20-22）（3-5）}{{（24-22）}^{2}{+（22-22）}^{2}{+（20-22）}^{2}}$=1，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=5-22=-17，
∴所求的線性回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=x-17；
（3）∵當(dāng)x=29時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=29-17=12，滿足|12-11|＜2，
當(dāng)x=26時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=26-17=9，也滿足|9-8|＜2，
∴認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的．

點(diǎn)評 本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，也考查了求線性回歸方程的應(yīng)用問題，是中檔題目．